東京大学入試問題　数学　理系数学　問１　をDerepseekに解いてもらえた

東大の数学問題を画面キャプチャして画像のままDeepSeekに突っ込んで

回答お願いしてみた

東京大学入試問題　数学　問１

 

 

回答へのステップ

 

 

この問題は、3次元空間内の点 $A(0,-1,1)$ と $xy$ 平面上の点 $P(x,y,0)$ が与えられた条件を満たす範囲を求めるものです。以下にステップバイステップで解いていきます。

条件の整理

1. 条件 (i): $P$ は原点 $O$ と異なる。
2. 条件 (ii): 角 ∠AOP=23π∠AOP=32​π。
3. 条件 (iii): 角 ∠OAP=π6∠OAP=6π​。

ベクトルの使用

点 $A$ と $P$ の位置ベクトルをそれぞれ A⃗A と P⃗P とします。条件 (ii) と (iii) は、これらのベクトル間の角度に関するものです。

条件 (ii) の適用

 

角 ∠AOP=23π∠AOP=32​π は、ベクトル OA⃗OA と OP⃗OP の間の角度です。この角度の余弦は次のように表されます：

cos⁡(23π)=OA⃗⋅OP⃗∣OA⃗∣⋅∣OP⃗∣cos(32​π)=∣OA∣⋅∣OP∣OA⋅OP​

ここで、OA⃗=(0,−1,1)OA=(0,−1,1) であり、OP⃗=(x,y,0)OP=(x,y,0) です。内積とノルムを計算すると：

OA⃗⋅OP⃗=0⋅x+(−1)⋅y+1⋅0=−yOA⋅OP=0⋅x+(−1)⋅y+1⋅0=−y∣OA⃗∣=02+(−1)2+12=2∣OA∣=02+(−1)2+12​=2​∣OP⃗∣=x2+y2∣OP∣=x2+y2​

したがって、余弦の条件は：

−y2⋅x2+y2=cos⁡(23π)=−122​⋅x2+y2​−y​=cos(32​π)=−21​

これを整理すると：

y2⋅x2+y2=122​⋅x2+y2​y​=21​y=22⋅x2+y2y=22​​⋅x2+y2​

両辺を二乗して整理すると：

y2=12(x2+y2)y2=21​(x2+y2)2y2=x2+y22y2=x2+y2x2=y2x2=y2

つまり、$x=y$ または $x=-y$ です。

 

条件 (iii) の適用

 

角 ∠OAP=π6∠OAP=6π​ は、ベクトル OA⃗OA と AP⃗AP の間の角度です。余弦定理を用いて：

cos⁡(π6)=OA⃗⋅AP⃗∣OA⃗∣⋅∣AP⃗∣cos(6π​)=∣OA∣⋅∣AP∣OA⋅AP​

ここで、AP⃗=P⃗−A⃗=(x,y+1,−1)AP=P−A=(x,y+1,−1) です。内積とノルムを計算すると：

OA⃗⋅AP⃗=0⋅x+(−1)⋅(y+1)+1⋅(−1)=−y−1−1=−y−2OA⋅AP=0⋅x+(−1)⋅(y+1)+1⋅(−1)=−y−1−1=−y−2∣AP⃗∣=x2+(y+1)2+(−1)2=x2+(y+1)2+1∣AP∣=x2+(y+1)2+(−1)2​=x2+(y+1)2+1​

したがって、余弦の条件は：

−y−22⋅x2+(y+1)2+1=cos⁡(π6)=322​⋅x2+(y+1)2+1​−y−2​=cos(6π​)=23​​

これを整理すると：

y+22⋅x2+(y+1)2+1=−322​⋅x2+(y+1)2+1​y+2​=−23​​

この式は複雑ですが、条件 (ii) で得られた $x=y$ または $x=-y$ を代入することで、具体的な $P$ の座標を求めることができます。

結論

条件 (ii) と (iii) を満たす点 $P$ は、$xy$ 平面上で特定の直線または曲線上に位置します。具体的には、$x=y$ または $x=-y$ の直線上にあり、さらに条件 (iii) を満たす点が $P$ の候補となります。これらの条件を満たす点 $P$ の範囲を図示することで、問題の解答が得られます。

このように、ベクトルと角度の条件を組み合わせて、点 $P$ の範囲を特定することができます。

 

図で表現できますか？